Materi :
Logika Matematika
Sub Materi :
1. Kalimat Terbuka Dan Pernyataan
2. Kuantor Dan Negasi
3. Konjungsi dan Disjungsi
Pengantar Materi
Logika matematika adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari prinsip-prinsip penalaran dan cara menarik kesimpulan dari suatu pernyataan atau kondisi berdasarkan aturan-aturan yang berlaku. Ilmu ini menggunakan simbol dan operasi matematika untuk menganalisis validitas suatu argumen dan terbukti sangat penting dalam pemecahan masalah, pembuktian teorema, serta memiliki aplikasi luas dalam ilmu komputer dan bidang lainnya.
Kalimat Terbuka Dan Pernyataan
Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mempunyai nilai kebenaran yang pasti.
Contoh: Biarkan dia pergi!
Kapan kamu menemuinya?
x + 1 > 0, x ∈ R
2 + x = 5
Pernyataan (proposisi)
Pernyataan (proposisi) adalah kalimat tertutup yang mempunyai nilai kebenaran benar/salah, tidak keduanya pada saat yang bersamaan. Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil (p, q, r, dst.) dan nilai kebenaran dilambangkan dengan τ(x), dengan B = benar, S = salah.
Contoh: p : Hasil kali 5 dengan 6 adalah 30. [τ(p) = B]
q : Seluruh bilangan prima adalah ganjil. [τ(q) = S]
r : 20 + 3 > 1 [τ(r) = B]
s : x^2 – x + 2 < 0. [τ(s) = S]
Kuantor Dan Negasi
Kuantor adalah simbol yang melambangkan kalimat terbuka dalam semesta pembicaraan pernyataan.
Kuantor terbagi menjadi dua:
1. Kuantor universal (∀)
Menyatakan adanya ‘seluruh’ atau ‘setiap’ hal yang terdapat dalam pernyataan.
∀x.p : semua x bersifat/berlaku bagi p.
- Bernilai benar jika tidak ditemukan nilai x yang membuat p salah.
- Bernilai salah jika ditemukan x yang membuat p salah.
2. Kuantor eksistensial (∃)
Menyatakan hanya adanya ‘beberapa’ atau ‘sebagian’ hal yang terdapat dalam pernyataan.
∃x.p : ada/beberapa x bersifat/berlaku bagi p.
- Bernilai benar jika ditemukan nilai x yang membuat p benar.
- Bernilai salah jika tidak ditemukan x yang membuat p benar.
Negasi (ingkaran) adalah lawan atau kebalikan dari suatu pernyataan.
Negasi dilambangkan dengan ~p, dan dibaca bukan atau tidak.
Contoh:
p : Ibukota negara Indonesia adalah Jakarta. [τ(p) = B]
~p : Ibukota negara Indonesia bukan Jakarta. [τ(~p) = S]
q : 3 > 5 [τ(q) = S]
~q : 3 ≤ 5 [τ(~q) = B]
r : x^2 = 25 [τ(r) = B]
~r : x^2 ≠ 25 [τ(~r) = S]
Tabel kebenaran:
Konjungsi dan Disjungsi
Konjungsi dan disjungsi dapat dianalogikan ke dalam rangkaian listrik.
Rangkaian listrik seri bersifat konjungsi, karena jika seluruh arus elemen terhubung (B ∧ B), maka barulah arus listrik akan mengalir (B). Rangkaian listrik paralel bersifat disjungsi, karena apabila seluruh elemen tidak terhubung (S ∨ S), maka arus listrik akan terputus (S).
1. Konjungsi
Konjungsi menyatakan hubungan ‘p dan/meskipun/tetapi/walaupun q’, dan dilambangkan dengan ∧. Nilai konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan benar (B ∧ B).
Tabel kebenaran:
Contoh:
p : Hari ini hujan. [τ(p) = B]
q : Hari ini berangin. [τ(q) = B]
p ∧ q : Hari ini hujan dan berangin. [τ(p ∧ q) = B]
2. Disjungsi
Disjungsi menyatakan hubungan ‘p atau q’, dan dilambangkan dengan ∨. Nilai disjungsi bernilai salah jika kedua pernyataan salah (S ∨ S).
Tabel kebenaran:
Contoh:
p : 5 + 10 = 20. [τ(p) = S]
q : 20 bukan bilangan genap. [τ(q) = S]
p ∨ q : 5 + 10 = 20 atau 20 bukan bilangan genap. [τ(p ∨ q) = S]
Simpulan Materi
Logika matematika membedakan kalimat terbuka yang tidak punya nilai kebenaran pasti dari pernyataan (proposisi) yang memiliki nilai benar atau salah. Negasi adalah kebalikan dari suatu pernyataan. Untuk menyatakan cakupan pernyataan, digunakan kuantor universal (∀) untuk “semua” dan kuantor eksistensial (∃) untuk “beberapa”. Pernyataan majemuk dibentuk menggunakan operator, seperti konjungsi (∧) untuk “dan” yang hanya benar jika kedua pernyataan benar, serta disjungsi (∨) untuk “atau” yang hanya salah jika kedua pernyataan salah.
Latihan Soal
Soal Pilihan Ganda
Kalimat yang tidak memiliki nilai kebenaran pasti, seperti “Kapan kamu menemuinya?”, disebut…
A. Proposisi
B. Pernyataan
C. Kalimat terbuka
D. Negasi
Manakah dari berikut ini yang merupakan contoh dari pernyataan?
A.
B. “Apakah kamu sudah makan?”
C. “Tolong ambilkan buku itu.”
D. “Burung tidak bisa terbang.”
Simbol yang melambangkan kuantor universal adalah…
A.
B.
C.
D.
Jika pernyataan p bernilai benar dan pernyataan q bernilai salah, maka nilai kebenaran dari konjungsi
adalah…
A. Benar
B. Salah
C. Tidak dapat ditentukan
D. Tergantung konteksnya
Nilai kebenaran dari disjungsi akan menjadi salah jika…
A. Salah satu pernyataan benar
B. Kedua pernyataan salah
C. Kedua pernyataan benar
D. Salah satu pernyataan salah
Soal Essay
Jelaskan perbedaan mendasar antara kalimat terbuka dan pernyataan.
Apa yang dimaksud dengan “negasi” dan bagaimana negasi mengubah nilai kebenaran suatu pernyataan?
Jelaskan perbedaan fungsi dan makna antara kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Jelaskan analogi antara konjungsi dan disjungsi dengan rangkaian listrik seri dan paralel.
Apa syarat agar suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan operator konjungsi () dapat bernilai benar?
Ingin Kembangkan Prestasi dan Kemampuanmu?
Yuk! Ikutan kompetisi online gratis dan terpercaya yang diselenggarakan oleh Lembaga Profesional dan terdaftar di SIMT PUSPRESNAS berikut ini:
Nama Lembaga |
Website |
Tingkat Kompetisi |
Bukti Kurasi |
|---|---|---|---|
Mengapa Harus Daftar Kompetisi Kami?
Pendaftaran Gratis
Pendaftaran Kompetisi dan Olimpiade GRATIS tanpa syarat apapun.
Apresiasi Juara Gratis
Apresiasi juara juga GRATIS tanpa perlu membayar klaim hingga ratusan ribu loh.
Beasiswa hingga Kuliah
Tersedia Beasiswa Khusus Alumni yang diberikan hingga kuliah loh!.
Pendukung Japres & SNBP
Piagam bisa digunakan untuk Jalur Prestasi, Beasiswa dan SNBP loh.
Sudah Ribuan Alumni
Sudah diikuti banyak alumni yang tersebar di seluruh Indonesia dan luar negeri.
Dikelola secara Syariah
Pengelolaan hadiah dan apresiasi dikelola secara terpisah dan sesuai syariah.
Bantuan Kurasi Prestasi
Tersedia layanan bantuan dan panduan kurasi prestasi peserta loh.
Legalitas Terjamin
Lembaga penyelenggara telah terdaftar di kementerian dan SIMT Kurasi.
Tunggu apalagi? Ingin kejar tiket SPMB Jalur Prestasi atau SNBP di tahun depan? segera gabung dan daftarkan dirimu sekarang juga!. Prestasi itu tidak ada yang instan loh! Mulai dan persiapkan versi terbaikmu mulai dari sekarang juga!.