Kaidah pencacahan adalah konsep dasar dalam matematika yang digunakan untuk menghitung berbagai jenis aransemen atau kombinasi dari objek-objek. Dua konsep utama dalam kaidah pencacahan adalah perkalian, permutasi, dan kombinasi. Di bawah ini, saya akan memberikan penjelasan singkat tentang masing-masing konsep ini.
| Pembahasan Materi: |
| – Pengertian Kaidah Pencacahan – Perkalian – Permutasi – Kombinasi – Contoh Soal |
Pengertian
Kaidah pencacahan adalah konsep matematika yang digunakan untuk menghitung atau menggambarkan berbagai cara yang berbeda dalam pengaturan atau pemilihan objek-objek. Ini melibatkan penggunaan prinsip-prinsip seperti perkalian, permutasi, dan kombinasi untuk menghitung jumlah cara yang mungkin dalam situasi tertentu. Kaidah pencacahan penting dalam matematika diskrit dan statistik untuk mengatasi masalah penghitungan dalam berbagai konteks, termasuk permutasi objek, penggabungan objek, dan penghitungan cara berbeda dalam pengaturan atau pemilihan objek.
Konsep Dasar
Konsep dasar kaidah pencacahan adalah pemahaman tentang cara menghitung berbagai cara yang berbeda dalam pengaturan atau pemilihan objek dalam matematika. Terdapat beberapa prinsip dasar yang mencakup perkalian, permutasi, dan kombinasi, yang membentuk dasar dari kaidah pencacahan.
Di bawah ini adalah ringkasan konsep dasar kaidah pencacahan:
1. Perkalian
Perkalian adalah salah satu kaidah pencacahan yang digunakan untuk menghitung jumlah cara berbeda untuk melakukan dua atau lebih tindakan yang tidak saling tergantung. Jika Anda memiliki beberapa tindakan atau pilihan yang harus diambil secara berurutan, maka Anda dapat mengalikan jumlah pilihan untuk setiap tindakan. Ini juga dikenal sebagai hukum perkalian.
Contoh:
- Jika Anda memiliki 3 baju t-shirt (merah, biru, dan kuning) dan 2 celana jeans (hitam dan biru), maka ada 3 x 2 = 6 cara berbeda untuk berpakaian.
- Untuk password 4 karakter yang dapat berisi huruf besar, huruf kecil, dan angka, ada 26 x 26 x 26 x 26 = 456,976 kombinasi yang mungkin.
- Untuk membentuk tim sepak bola mini dengan penjaga gawang, pemain bertahan, pemain tengah, dan penyerang, jika Anda memiliki 4 penjaga gawang, 6 pemain bertahan, 8 pemain tengah, dan 5 penyerang, ada 4 x 6 x 8 x 5 = 960 tim yang berbeda yang dapat Anda bentuk.
2. Permutasi
Permutasi adalah kaidah pencacahan yang digunakan untuk menghitung jumlah cara berbeda untuk mengatur objek-objek dalam urutan tertentu. Permutasi merupakan penggabungan dari objek-objek tersebut dalam urutan yang berbeda. Jumlah permutasi dari n objek yang diatur dalam r urutan diberikan oleh rumus:
| n P r = n! / (n – r)! |
Keterangan:
“Simbol ‘n P r’ di gunakan untuk menggambarkan permutasi, sedangkan ‘n!’ (n faktorial) adalah hasil kali semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n, dan ‘r’ mengindikasikan jumlah objek yang diatur dalam setiap permutasi.”
Contoh:
- Jika Anda memiliki 4 buku (A, B, C, dan D) dan ingin mengatur 2 buku dalam urutan tertentu, ada 4 P 2 = 12 cara berbeda untuk melakukannya.
- Dengan 7 kursi dan 7 peserta, ada 7! = 5040 cara berbeda peserta dapat duduk di kursi-kursi tersebut.
- Untuk kata “MISSISSIPPI,” ada 11 huruf yang dapat di atur dalam 11! = 39,916,800 cara yang berbeda, karena beberapa huruf berulang.
3. Kombinasi
Kombinasi adalah kaidah pencacahan yang di gunakan untuk menghitung jumlah cara berbeda untuk memilih objek-objek dari himpunan tanpa memperhatikan urutan. Jumlah kombinasi dari n objek yang di pilih r pada satu waktu diberikan oleh rumus:
| n C r = n! / (r! * (n – r)!) |
Keterangan:
“n C r” merupakan simbol kombinasi, “n!” adalah faktorial dari n, “r!’ menggambarkan faktorial dari r, sementara ‘(n – r)!’ merupakan faktorial dari selisih antara n dan r.”
Contoh:
- Jika Anda memiliki 5 kue (A, B, C, D, dan E) dan ingin memilih 3 kue untuk dimakan tanpa memperhatikan urutan, ada 5 C 3 = 10 cara berbeda untuk memilihnya.
- Dalam pemilihan 10 siswa untuk menjadi delegasi dengan memilih 4 dari mereka, ada 10C4 = 210 kombinasi delegasi yang mungkin.
- Dalam pemilihan 3 item dari 7 pilihan untuk hidangan pembuka, ada 7C3 = 35 kombinasi hidangan pembuka
Contoh Soal
1. Anda memiliki 4 jenis buku (A, B, C, D) dan 3 jenis pena (X, Y, Z). Berapa banyak cara yang berbeda Anda dapat menggabungkan satu buku dan satu pena untuk membuat pasangan buku-pena?
Pembahasan:
| Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan prinsip perkalian karena kita memiliki dua tindakan yang tidak saling tergantung: memilih buku dan memilih pena. – Jumlah cara memilih buku: 4 cara (A, B, C, D). – Jumlah cara memilih pena: 3 cara (X, Y, Z). Untuk menggabungkan buku dan pena, kita mengalikan jumlah cara memilih buku dan pena. Jumlah cara = Jumlah cara memilih buku x Jumlah cara memilih pena = 4 x 3 = 12 cara. Jadi, ada 12 cara berbeda untuk membuat pasangan buku-pena. |
2. Berapa banyak permutasi kata “MATEMATIKA”?
| Jumlah huruf dalam kata “MATEMATIKA” adalah 10, dan tidak ada huruf yang sama. Jadi, kita menghitung 10P10 (10 permutasi 10). 10P10 = 10! / (10 – 10)! = 10! / 0! = 10! / 1 = 10! Menghitung nilai 10! (10 faktorial) kita dapatkan: 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3,628,800 Jadi, ada 3,628,800 permutasi kata “MATEMATIKA.” |
3. Anda memiliki 5 buku, dan Anda ingin memilih 2 buku untuk dibaca malam ini. Berapa banyak kombinasi buku yang mungkin?
Pembahasan:
| Jumlah cara memilih 2 buku dari 5 buku adalah 5C2 (5 kombinasi 2). 5C2 = 5! / (2! * (5 – 2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 x 4) / (2 x 1) = 10 Jadi, ada 10 kombinasi berbeda buku yang dapat Anda pilih untuk dibaca malam ini. |
Baca juga: SMA-MATEMATIKA: KALKULUS (BAGIAN 1)
YUK BERKOMPETISI DAN BERPRESTASI
Halo pelajar Indonesia, Ayo uji kompetensimu sekarang juga dengan mengikuti Kompetisi Online dan manfaatkan kesempatan untuk berkembang secara pribadi dan profesional! Sertai tantangan ini untuk mengasah keterampilan, memperluas pengetahuan, dan membangun jaringan yang berharga. Ada banyak sekali kompetisi nasional dan internasional yang tersedia setiap bulannya hanya di Kompetisi.in.
LEMBAGA PENYELENGGARA LEGAL DAN TERDAFTAR DI KEMENKUMHAM HINGGA PUSPRESNAS
Lembaga penyelenggara kompetisi sudah terdaftar di Kementerian Hukum dan HAM dengan nomor AHU-0056982-AH.114 Tahun 2020 serta telah terkurasi sistem puspresnas di https://simt.kemdikbud.go.id/kurasi. Kami sudah berpengalaman sejak tahun 2019 dan sudah melahirkan banyak alumni berprestasi di tingkat nasional hingga internasional loh!!. Yuk buruan tunggu apa lagi segera gabung di Kompetisi.in
TEMUKAN MATERI DAN BIMBEL TERUPDATE
Hayo, siapa yang lagi bingung sama materi belajar di sekolah? Yuk belajar materi tambahan secara online di Website Belajaria!. Belajar bisa kapanpun dan dimanapun. Eits, Kalau masih bingung jangan khawatir!. Ada carilesprivat.com dan lesprivatsidoarjo.com yang siap membantu kalian belajar dengan tentor yang kompeten, komunikatif, dan berpengalaman loh!. Tunggu apa lagi? Yuk join sekarang! Ada FREE BIAYA PENDAFTARAN dan FREE SATU BULAN LES juga sebelum kuota terpenuhi.
PLATFORM KOMPETISI ONLINE PERTAMA DI INDONESIA
Yuk ikuti kompetisi online yang terdaftar dan legal di kompetisinasional.com, olimpiadekita.com, pusatbelajar.online, kompetisionline.com, kompetisi.co.id, ajangjuara.com, dan olimpiade.in pasti deh bakal berkesan dan semangat terus untuk berprestasi!! Yuk daftar di kompetisi.in!