Materi :
Bilangan
Sub Materi :
1. Konsep Bilangan
2. Bilangan Bulat dan Operasi Hitungnya
3. Bilangan Prima, Faktor Prima, Faktorisasi Prima
Pengantar Materi
Bilangan adalah konsep abstrak dalam matematika yang digunakan untuk menyatakan suatu nilai, jumlah, urutan, atau bagian dari suatu keseluruhan. Simbol atau angka adalah lambang yang mewakili bilangan tersebut. Bilangan meliputi berbagai jenis, seperti bilangan asli (1, 2, 3, …), bilangan cacah (0, 1, 2, …), bilangan bulat (…-2, -1, 0, 1, 2,…), bilangan rasional (dapat ditulis sebagai pecahan), dan bilangan irasional (tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan).
Konsep Bilangan
Bilangan adalah suatu unsur atau objek yang tidak didefinisikan (undefined term). Bilangan merupakan suatu konsep yang abstrak, bukan simbol, bukan pula angka. Bilangan menyatakan suatu nilai yang bisa diartikan sebagai banyaknya atau urutan sesuatu atau bagian dari suatu keseluruhan. Bilangan merupakan konsep yang abstrak, bukan simbol, dan bukan angka. Tanda-tanda yang sering ditemukan bukan suatu bilangan tetapi merupakan lambang bilangan. Lambang bilangan memuat angka dengan nilai tempat tertentu.
Bilangan Bulat dan Operasi Hitungnya
Himpunan bilangan bulat terdiri dari gabungan bilangan asli, bilangan nol, dan lawan dari bilangan asli. Bilangan asli tersebut dapat disebut juga bilangan bulat positif. Lawan dari bilangan asli tersebut dapat disebut bilangan bulat negatif.
Himpunan bilangan bulat dapat dituliskan sebagai berikut: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Jika digambarkan dalam garis bilangan, himpunan bilangan bulat adalah sebagai berikut:
Dari gambar 1, dalam garis bilangan tersebut terdiri dari:
Himpunan bilangan bulat positif: {1, 2, 3, …}
Himpunan Bilangan nol: {0}, dan
Bilangan bulat negatif: {…, -4, -3, -2, -1}
1. Penjumlahan Bilangan Bulat
Pada gambar 2 (a) yang mengilustrasikan operasi penjumlahan 3 + 2, berdasarkan gambar tersebut terlihat bahwa pada satu himpunan terdapat 3 anggota dan himpunan yang lain terdapat 2 anggota, sehingga gabungan dari dua himpunan tersebut adalah 5 anggota.
Pada Gambar 2 (b) mengilustrasikan 32 + 51, dimana nilai tempat puluhan diwakili oleh stik dan nilai tempat satuan diwakili oleh koin hitam. Pada ilustrasi tersebut memperlihatkan bahwa untuk menjumlahkan, maka jumlahkanlah sesuai dengan nilai tempat yang sama, yaitu nilai tempat puluhan dengan puluhan (30 + 50) dan nilai tempat satuan dengan nilai tempat satuan (2 + 1), sehingga hasil akhirnya adalah 83.
jika a dan b adalah bilangan bulat positif, maka jumlah dari kedua bilangan akan dilambangkan a + b.
2. Pengurangan Bilangan Bulat
Operasi hitung pengurangan pada dasarnya merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan. Jika sebuah bilangan bulat positif a dikurangi dengan bilangan bulat positif b menghasilkan bilangan bulat positif c atau (a – b = c) operasi penjumlahan yang terkait adalah b + c = a.
Dapat disimpulkan bahwa: a – b = a + (-b) dan a – (-b) = a + b.
Jadi, pada operasi hitung pengurangan berlaku definisi, misalkan a dan b bilangan bulat, maka a – b adalah sebuah bilangan bulat c yang bersifat b + c = a. Dapat disimpulkan bahwa a – b = c jika dan hanya jika a = b + c. Jika a dan b bilangan bulat, maka a – b = a + (-b).
3. Perkalian Bilangan Bulat
Pada hakikatnya perkalian pada dua buah bilangan bulat positif adalah penjumlahan yang berulang.
Perhatikan pola perkalian bilangan berikut ini.
Jika diperhatikan pola tersebut (pada bagian hasil) semakin bertambah 3, sehingga (-3) x (-1) = 3, (-3) x (-2) = 6, (-3) x (-3) = 9.
diperoleh sebuah aturan sebagai berikut:
- -a x b = -( a x b) atau (-) x (+) = (-), bilangan negatif x bilangan positif hasilnya bilangan negatif.
- a x -b = -( a x b) atau (+) x (-) = (-), bilangan positif x bilangan negative hasilnya bilangan negatif.
- a x b = ( a x b) atau (+) x (+) = (+), bilangan positif x bilangan positif hasilnya bilangan positif.
- -a x -b = ( a x b) atau (-) x (-) = (+), bilangan negatif x bilangan negatif hasilnya bilangan positif.
4. Pembagian Bilangan Bulat
Pada hakikatnya operasi hitung pembagian pada dua buah bilangan bulat positif adalah pengurangan yang berulang sampai nol. Definisi ini hanya berlaku saat bilangan yang dibagi habis dibagi oleh bilangan pembagi. Perhatikan contoh kasus berikut ini.
Berapakah 48 : 4?
Perhatikan ilustrasi penyelesaian berikut ini:
Gambar tersebut mengilustrasikan 48 memiliki nilai tempat puluhan 4 dan nilai satuan 8. Karena akan dibagi pada 4 kelompok, maka setiap kelompok memiliki 1 puluhan, dan 2 satuan, atau dengan kata lain 48 : 4 = 12.
Definisi:
Untuk setiap a dan b anggota bilangan bulat, dengan b ≠ 0, maka a : b = c sedemikian sehingga a = bc.
Bilangan Prima, Faktor Prima, Faktorisasi Prima
1. Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang hanya atau tepat memiliki 2 faktor yaitu bilangan itu sendiri dan 1. Contoh: banyak bilangan prima yang kurang dari 100 yang disusun berurutan mulai dari bilangan yang terkecil adalah: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, dan 97. Ada 25 bilangan prima yang kurang dari 100.
2. Faktor prima
Faktor prima suatu bilangan adalah faktor-faktor dari bilangan tersebut yang merupakan bilangan prima, Sebagai contoh, faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Dari faktor-foktor tersebut yang merupakan bilangan prima adalah 2 dan 3. Dengan demikian Faktor prima dari 12 adalah 2 dan 3.
Untuk menentukan faktor prima atau faktorisasi prima suatu bilangan dapat menggunakan “pohon faktor”. Contoh langkah-langkah menentukan faktor prima dari 12 seperti tersebut di atas, dapat dilakukan dengan membuat pohon faktor seperti berikut ini.
3. Faktorisasi Prima
Faktorisasi Prima adalah menguraikan bilangan menjadi perkalian dari faktor-faktor primanya. Faktor prima dari bilangan 12 adalah 2 dan 3. Dengan demikian bilangan 12 dapat diuraikan menjadi perkalian dari faktor-faktor primanya yaitu 12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3. Untuk menentukan faktorisasi prima dari suatu bilangan dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan pohon faktor seperti uraian sebelumnya.
Simpulan Materi
bilangan adalah konsep abstrak yang bukan simbol atau angka, melainkan menyatakan nilai kuantitas atau urutan. Teks menjelaskan tentang bilangan bulat, yang terdiri dari bilangan positif, nol, dan negatif, serta operasi dasarnya seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Selain itu, dijelaskan juga konsep bilangan prima, yaitu bilangan asli yang hanya memiliki dua faktor (1 dan bilangan itu sendiri), serta cara menemukan faktor prima dan faktorisasi prima dari suatu bilangan.
Latihan Soal
Soal Pilihan Ganda
Berikut ini adalah salah satu konsep yang abstrak, bukan simbol, dan bukan pula angka adalah…
a. bilangan
b. angka
c. lambang bilangan
d. himpunan
Berikut ini yang merupakan himpunan bilangan bulat positif adalah…
a. {0, 1, 2, 3, …}
b. {…, -3, -2, -1}
c. {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
d. {1, 2, 3, …}
Operasi hitung pengurangan pada dasarnya merupakan kebalikan dari operasi…
a. penjumlahan
b. perkalian
c. pembagian
d. bilangan
Bilangan asli lebih dari 1 yang hanya memiliki 2 faktor, yaitu bilangan itu sendiri dan 1, disebut…
a. bilangan prima
b. bilangan bulat
c. faktorisasi prima
d. faktor prima
Proses menguraikan bilangan menjadi perkalian dari faktor-faktor primanya adalah…
a. faktorisasi prima
b. faktor prima
c. bilangan prima
d. bilangan bulat
Soal Essay
Jelaskan perbedaan mendasar antara bilangan dan angka.
Jelaskan apa yang dimaksud dengan bilangan bulat.
Jelaskan apa yang dimaksud dengan bilangan prima dan berikan contohnya.
Jelaskan bagaimana operasi perkalian pada dua buah bilangan bulat positif pada hakikatnya merupakan penjumlahan yang berulang.
Apa saja yang termasuk dalam himpunan bilangan bulat?
Ingin Kembangkan Prestasi dan Kemampuanmu?
Yuk! Ikutan kompetisi online gratis dan terpercaya yang diselenggarakan oleh Lembaga Profesional dan terdaftar di SIMT PUSPRESNAS berikut ini:
Nama Lembaga |
Website |
Tingkat Kompetisi |
Bukti Kurasi |
|---|---|---|---|
Mengapa Harus Daftar Kompetisi Kami?
Pendaftaran Gratis
Pendaftaran Kompetisi dan Olimpiade GRATIS tanpa syarat apapun.
Apresiasi Juara Gratis
Apresiasi juara juga GRATIS tanpa perlu membayar klaim hingga ratusan ribu loh.
Beasiswa hingga Kuliah
Tersedia Beasiswa Khusus Alumni yang diberikan hingga kuliah loh!.
Pendukung Japres & SNBP
Piagam bisa digunakan untuk Jalur Prestasi, Beasiswa dan SNBP loh.
Sudah Ribuan Alumni
Sudah diikuti banyak alumni yang tersebar di seluruh Indonesia dan luar negeri.
Dikelola secara Syariah
Pengelolaan hadiah dan apresiasi dikelola secara terpisah dan sesuai syariah.
Bantuan Kurasi Prestasi
Tersedia layanan bantuan dan panduan kurasi prestasi peserta loh.
Legalitas Terjamin
Lembaga penyelenggara telah terdaftar di kementerian dan SIMT Kurasi.
Tunggu apalagi? Ingin kejar tiket SPMB Jalur Prestasi atau SNBP di tahun depan? segera gabung dan daftarkan dirimu sekarang juga!. Prestasi itu tidak ada yang instan loh! Mulai dan persiapkan versi terbaikmu mulai dari sekarang juga!.