Materi :
Invers dan Komposisi Fungsi
Sub Materi :
1. Invers Fungsi
2. Komposisi Fungsi
Pengantar Materi
Fungsi komposisi adalah penggabungan dua atau lebih fungsi menjadi satu fungsi baru melalui proses substitusi, disimbolkan dengan ‘o’ (misalnya, (f o g)(x)), sedangkan fungsi invers adalah kebalikan dari suatu fungsi yang dapat “membatalkan” fungsi aslinya, disimbolkan dengan pangkat -1 (misalnya, f⁻¹(x)).
Invers Fungsi
Invers fungsi (f^-1(x)) adalah kebalikan dari fungsi f(x) yang juga merupakan sebuah fungsi.
Syarat agar suatu fungsi memiliki invers:
- f(x) harus merupakan fungsi bijektif.
- Grafik fungsi tidak boleh membalik.
Contoh invers fungsi dari berbagai cara penyajian fungsi:
1. Diagram panah
Dapat dilakukan dengan membalik arah panah.
2. Pasangan berurutan
Berlaku: Df = Rf^-1
Rf = Df^-1
Contoh:
f = {(1, 5)(2, 8)(3, 10)(4, 13)}
f^-1 = {(5, 1)(8, 2)(10, 3)(13, 4)}
3. Rumus fungsi
Berlaku: f(x) = a, maka inversnya: f^-1(a) = x
Contoh:
Tentukan invers dari fungsi berikut!
Fungsi linear : f(x) = 2x + 1
f^-1(2x + 1) = x
y = 2x + 1
x = (y – 1) / 2, maka f^-1(x) = (x – 1) / 2
4. Grafik
Invers f^-1(x) pada grafik adalah sebuah garis yang simetris terhadap f(x) pada cermin y = x.
Grafik yang memiliki invers fungsi adalah grafik yang jika dibuat garis mendatar hanya memotong satu titik saja.
Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi (o) adalah kejadian dimana fungsi f yang memetakan anggota x ke y, dilanjutkan oleh fungsi g yang memetakan y ke z.
Penulisan komposisi fungsi:
- g o f(x) dibaca f dilanjutkan g
- dapat ditulis gf(x) atau g(f(x)).
Pada komposisi fungsi:
- Irisan daerah hasil fungsi f dengan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong.
- Daerah asal fungsi komposisi g o f adalah daerah asal fungsi f.
- Daerah hasil fungsi komposisi g o f adalah daerah hasil fungsi g.
Komposisi fungsi dalam berbagai penyajian data:
1. Pasangan berurutan
Jika diketahui:
f = {(1, 2)(2, 3)(3, 4)(4, 1)}
g = {(1, 3)(2, 2)(3, 1)(4, 4)}
Maka Rg = Df. Tentukan:
f o g = {(1, 4)(2, 3)(3, 2)(4, 1)}
g o f = {(1, 2)(2, 1)(3, 4)(4, 3)}
f o g o f = {(1, 3)(2, 2)(3, 1)(4, 4)}
2. Rumus fungsi
Jika diketahui:
f(x) = {x + 2, jika x < -1; x^2 – 3, jika -1 ≤ x < 4; √x – 4, jika x ≥ 4}
g(x) = 2x + 2
Tentukan:
- f o f o f(5)
= f(f(f(5)))
= f(f(√(5) – 4)) = f(f(1))
= f(f(1^2 – 3)) = f(f(-2))
= f(-2 + 2) = f(0)
= 0^2 – 3 = -3
- g o f o g(3)
= g(f(g(3)))
= g(f((2(3) + 2)) = g(f(8))
= g(√(8 – 4)) = g(2)
= 2(2) + 2 = 6
Simpulan Materi
Invers fungsi (f−1(x)) adalah kebalikan dari suatu fungsi yang hanya bisa ada jika fungsi asalnya bersifat bijektif. Invers dapat dicari dengan membalik pasangan berurutan atau memanipulasi rumus fungsi. Secara grafis, invers fungsi adalah refleksi dari grafik fungsi asalnya terhadap garis y=x. Sementara itu, komposisi fungsi (g∘f(x)) adalah penggabungan dua fungsi atau lebih, di mana hasil dari fungsi pertama menjadi input untuk fungsi berikutnya.
Latihan Soal
Syarat utama agar sebuah fungsi memiliki invers adalah fungsi tersebut harus…
A. Fungsi linear
B. Fungsi surjektif
C. Fungsi injektif
D. Fungsi bijektif
Jika diketahui , maka invers dari fungsi tersebut, yaitu adalah…
A.
B.
C.
D.
Pada sebuah komposisi fungsi , yang merupakan daerah asal dari fungsi komposisi tersebut adalah…
A. Daerah asal fungsi
B. Daerah hasil fungsi
C. Daerah asal fungsi
D. Daerah hasil fungsi
Secara grafis, invers dari sebuah fungsi () adalah…
A. Pencerminan terhadap sumbu x
B. Pergeseran ke atas
C. Pencerminan terhadap garis
D. Pencerminan terhadap sumbu y
Jelaskan mengapa suatu fungsi harus bersifat bijektif agar memiliki invers.
Bagaimana hubungan antara domain dan range dari suatu fungsi dengan domain dan range dari inversnya?
Jelaskan konsep dari komposisi fungsi.
Jelaskan bagaimana cara mencari invers dari sebuah fungsi yang diberikan dalam bentuk pasangan berurutan.
Apa syarat yang harus dipenuhi agar dua fungsi dapat dikomposisikan?
Ingin Kembangkan Prestasi dan Kemampuanmu?
Yuk! Ikutan kompetisi online gratis dan terpercaya yang diselenggarakan oleh Lembaga Profesional dan terdaftar di SIMT PUSPRESNAS berikut ini:
Nama Lembaga |
Website |
Tingkat Kompetisi |
Bukti Kurasi |
|---|---|---|---|
Mengapa Harus Daftar Kompetisi Kami?
Pendaftaran Gratis
Pendaftaran Kompetisi dan Olimpiade GRATIS tanpa syarat apapun.
Apresiasi Juara Gratis
Apresiasi juara juga GRATIS tanpa perlu membayar klaim hingga ratusan ribu loh.
Beasiswa hingga Kuliah
Tersedia Beasiswa Khusus Alumni yang diberikan hingga kuliah loh!.
Pendukung Japres & SNBP
Piagam bisa digunakan untuk Jalur Prestasi, Beasiswa dan SNBP loh.
Sudah Ribuan Alumni
Sudah diikuti banyak alumni yang tersebar di seluruh Indonesia dan luar negeri.
Dikelola secara Syariah
Pengelolaan hadiah dan apresiasi dikelola secara terpisah dan sesuai syariah.
Bantuan Kurasi Prestasi
Tersedia layanan bantuan dan panduan kurasi prestasi peserta loh.
Legalitas Terjamin
Lembaga penyelenggara telah terdaftar di kementerian dan SIMT Kurasi.
Tunggu apalagi? Ingin kejar tiket SPMB Jalur Prestasi atau SNBP di tahun depan? segera gabung dan daftarkan dirimu sekarang juga!. Prestasi itu tidak ada yang instan loh! Mulai dan persiapkan versi terbaikmu mulai dari sekarang juga!.