Materi :
Kombinatorika
Sub Materi :
1. Kaidah Pencacahan
2. Rumus Kaidah Pencacahan
3. Prinsip Inklusi-Eksklusi
4. Teori Graf Dasar Dan Aplikasinya
Pengantar Materi
Kombinatorika adalah cabang matematika yang mempelajari prinsip penghitungan, penggabungan, dan penyusunan objek-objek atau elemen-elemen tertentu untuk menentukan banyaknya kemungkinan atau cara yang ada. Bidang ini berfokus pada struktur dan sifat-sifat dari objek diskrit dan berhingga, serta mencari cara untuk mencacah, membuat, atau mengoptimalkan struktur-struktur tersebut.
Kaidah Pencacahan
Gambar 1.1. Ilustrasi Kaidah Pencacahan
Kaidah pencacahan berfungsi untuk membantu kita menghitung jumlah kemungkinan atau pola-pola tertentu dengan cara yang lebih sistematis. Kaidah pencacahan bisa diterapkan di banyak kasus, mulai dari masalah kombinatorik, probabilitas, hingga statistic
Rumus Kaidah Pencacahan
Dalam materi pencacahan, terdapat empat kaidah perhitunga. Keempat kaidah itu merupakan penjumlahan dan perkalian, faktorial, permutasi, dan kombinasi.
1. Penjumlahan
Rumus ini biasanya digunakan untuk menghitung banyak kemungkinan yang ada dari beberapa kasus yang bisa dipilih atau dikombinasikan secara eksklusif.
2. Perkalian
Rumus ini digunakan jika kita punya beberapa kasus yang bisa dipilih, dikombinasikan secara bersamaan, atau saling tergantung satu sama lain. Rumus kaidah pencacahan untuk perkalian ini biasanya dipakai buat menghitung banyak kemungkinan susunan atau kombinasi dari beberapa objek yang saling bergantung.
3. Faktorial
Faktorial adalah operasi matematika yang digunakan untuk mengalikan bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif yang lebih kecil daripadanya sendiri, hingga mencapai angka 1. Faktorial dituliskan dengan tanda seru (!) di belakang bilangan yang akan dihitung faktorialnya.
4. Permutasi
menghitung banyaknya susunan terurut dari objek-objek yang berbeda. Dalam permutasi, setiap objek harus ditempatkan pada posisi yang berbeda-beda dalam susunan yang terurut.
Keterangan:
n = Jumlah objek yang tersedia
r = Jumlah objek yang akan
5. Kombinasi
Kombinasi digunakan untuk menghitung banyaknya cara memilih objek-objek tertentu dari sekelompok objek tanpa memperhatikan urutan atau posisi objek tersebut. Rumus kombinasi sendiri berbeda dengan permutasi dan faktorial. Rumus kombinasi menggunakan faktorial dan permutasi untuk menghitung jumlah cara memilih objek-objek tersebut. Berikut rumus kombinasi peluang yang wajib Sobat Pijar ketahui:
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Dalam kombinatorik , prinsip inklusi-eksklusi adalah teknik penghitungan yang menggeneralisasi metode yang umum digunakan untuk memperoleh jumlah elemen dalam gabungan dua himpunan hingga ; secara simbolis dinyatakan sebagai
di mana A dan B adalah dua himpunan berhingga dan | S | menunjukkan kardinalitas himpunan S (yang dapat dianggap sebagai jumlah elemen himpunan tersebut, jika himpunan tersebut berhingga ).
Teori Graf Dasar Dan Aplikasinya
Teori graf adalah studi tentang struktur data graf, yang merepresentasikan jaringan objek dan memodelkan hubungan antar objek menggunakan simpul (node) dan sisi.
1. Bagaimana Teori Graf Digunakan
Grafik dapat digunakan untuk memodelkan berbagai jenis hubungan dan proses dalam sistem fisik, biologi, sosial, dan informasi, dan memiliki berbagai aplikasi yang bermanfaat, seperti:
- Menemukan komunitas dalam jaringan, seperti media sosial (rekomendasi teman/koneksi), atau untuk kemungkinan penyebaran COVID-19 di komunitas melalui kontak.
- Peringkat hyperlink di mesin pencari .
- GPS di Google Maps untuk menemukan jalur terpendek pulang.
- Studi molekul dan atom dalam kimia.
- Pengurutan DNA.
- Keamanan jaringan komputer .
2. Jenis-jenis Grafik
Terdapat 3 Jenis Grafik yang Perlu Diketahui dalam Teori Grafik
- Grafik tak berarah: Semua lintasan antara setiap simpul bersifat dua arah .
- Grafik terarah (digraf) : Lintasan antara simpul memiliki arah yang ditentukan.
- Grafik berbobot : Lintasan antara setiap simpul memiliki arah dan bobot yang ditentukan untuk menunjukkan jarak.
Simpulan Materi
kombinatorika adalah cabang matematika yang berfokus pada teknik pencacahan untuk menghitung kemungkinan dan pola, seperti kaidah pencacahan yang meliputi penjumlahan, perkalian, faktorial, permutasi, dan kombinasi. Teks juga menjelaskan prinsip inklusi-eksklusi yang digunakan untuk menghitung jumlah elemen dalam gabungan himpunan, serta teori graf, yaitu studi tentang struktur data yang memodelkan hubungan antar objek menggunakan simpul dan sisi, yang memiliki berbagai aplikasi praktis.
Latihan Soal
Soal Pilihan Ganda
Berikut ini adalah salah satu kaidah pencacahan yang digunakan untuk menghitung banyaknya cara memilih objek-objek tertentu dari sekelompok objek tanpa memperhatikan urutan, yaitu…
a. permutasi
b. faktorial
c. kombinasi
d. penjumlahan
Berikut ini yang merupakan salah satu contoh aplikasi dari teori graf adalah…
a. menghitung volume kubus
b. menemukan jalur terpendek pada GPS
c. menghitung perkalian matriks
d. menentukan nilai limit
Operasi matematika yang digunakan untuk mengalikan bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif yang lebih kecil daripadanya sendiri, hingga mencapai angka 1, disebut…
a. permutasi
b. kombinasi
c. faktorial
d. perkalian
Berikut ini adalah salah satu jenis grafik yang memiliki lintasan antara setiap simpul yang bersifat dua arah, yaitu…
a. grafik tak berarah
b. grafik terarah
c. grafik berbobot
d. digraf
Kaidah pencacahan yang digunakan untuk menghitung banyaknya susunan terurut dari objek-objek yang berbeda disebut…
a. kombinasi
b. permutasi
c. faktorial
d. penjumlahan
Soal Essay
Jelaskan perbedaan mendasar antara permutasi dan kombinasi.
Jelaskan apa yang dimaksud dengan teori graf.
Jelaskan apa yang dimaksud dengan faktorial.
Jelaskan perbedaan antara grafik terarah (digraf) dan grafik tak berarah.
Menurut teks, apa saja yang termasuk dalam kaidah pencacahan?
Ingin Kembangkan Prestasi dan Kemampuanmu?
Yuk! Ikutan kompetisi online gratis dan terpercaya yang diselenggarakan oleh Lembaga Profesional dan terdaftar di SIMT PUSPRESNAS berikut ini:
Nama Lembaga |
Website |
Tingkat Kompetisi |
Bukti Kurasi |
|---|---|---|---|
Mengapa Harus Daftar Kompetisi Kami?
Pendaftaran Gratis
Pendaftaran Kompetisi dan Olimpiade GRATIS tanpa syarat apapun.
Apresiasi Juara Gratis
Apresiasi juara juga GRATIS tanpa perlu membayar klaim hingga ratusan ribu loh.
Beasiswa hingga Kuliah
Tersedia Beasiswa Khusus Alumni yang diberikan hingga kuliah loh!.
Pendukung Japres & SNBP
Piagam bisa digunakan untuk Jalur Prestasi, Beasiswa dan SNBP loh.
Sudah Ribuan Alumni
Sudah diikuti banyak alumni yang tersebar di seluruh Indonesia dan luar negeri.
Dikelola secara Syariah
Pengelolaan hadiah dan apresiasi dikelola secara terpisah dan sesuai syariah.
Bantuan Kurasi Prestasi
Tersedia layanan bantuan dan panduan kurasi prestasi peserta loh.
Legalitas Terjamin
Lembaga penyelenggara telah terdaftar di kementerian dan SIMT Kurasi.
Tunggu apalagi? Ingin kejar tiket SPMB Jalur Prestasi atau SNBP di tahun depan? segera gabung dan daftarkan dirimu sekarang juga!. Prestasi itu tidak ada yang instan loh! Mulai dan persiapkan versi terbaikmu mulai dari sekarang juga!.