Materi :
Aljabar Dasar
Sub Materi :
1. Himpunan
2. Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai
3. Operasi Aljabar
4. Barisan dan Deret
Pengantar Materi
Aljabar Dasar meliputi penggunaan variabel, konstanta, ekspresi aljabar, dan persamaan yang melibatkan operasi aritmetika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Konsep-konsep ini adalah fondasi untuk menyelesaikan masalah matematika yang lebih kompleks dengan menggunakan simbol untuk mewakili bilangan yang tidak diketahui.
Himpunan
Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu yang memiliki definisi yang jelas dan dianggap sebagai satu kesatuan.
Notasi pembentuk himpunan yaitu menyebutkan semua sifat dari anggota himpunan dengan anggotanya yang dinyatakan dalam suatu variabel dan dituliskan di dalam kurung kurawal.
Contoh: D merupakan himpunan bilangan genap antara 4 dan 20
Dapat dituliskan menjadi D = {x | 4 < x < 20, x Є bilangan genap}
1. Irisan
Irisan dari dua himpunan X dan Y merupakan himpunan yang anggotanya ada di himpunan X dan juga ada di himpunan Y. Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda “∪”
Contoh:
X = {1,2,3,4}
Y= {2,3,5,6}
Maka X∪Y={1,2,3,4,5,6}
2. Selisih
X selisih Y merupakan himpunan dari anggota X yang tidak memuat anggota Y. Selisih antara dua buah himpunan ini dinotasikan dengan tanda “-“.
Contoh:
X = {1,2,3,4}
Y= {2,3,5,6}
Maka A – B = {1,4}
3. Komplemen
Komplemen suatu himpunan adalah himpunan lain yang memuat semua anggota semesta yang tidak dimiliki oleh himpunan tersebut. Komplemen A dinotasikan dengan AC.
Contoh:
A = {a, d, f, h}
S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}
Maka AC = {b, c, e, g, i}
Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai
Dalam Matemtika, perbandingan adalah membandingkan dua nilai atau lebih dari suatu besaran yang sejenis menggunakan cara sederhana. Perbandingan dalam Matematika dibagi menjadi dua jenis, yaitu perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai.
1. Perbandingan Senilai
Perbandingan senilai adalah perbandingan yang nilainya sama, yaitu:
- Jika nilai awalnya semakin besar maka nilai akhirnya juga semakin besar.
- Jika nilai awalnya semakin kecil maka nilai akhirnya juga semakin kecil.
Berikut ilustrasinya:
- Nilai awal: a dan b.
- Nilai akhir: c dan d.
- Maka hubungan perbandingan senilai adalah a : b = c : d atau a x d = b x c.
Rumus Perbandingan Senilai
a1/b1 = a2/b2
Keterangan:
a1 = variabel a sebelum dibandingkan
a2 = variabel a setelah dibandingkan
b1 = variabel b sebelum dibandingkan
b2 = variabel b setelah dibandingkan
2. Perbandingan Berbalik Nilai
Perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan yang nilainya konstan tapi perbandingannya dibalik sebagai berikut:
- Jika nilai awalnya semakin besar maka nilai akhirnya semakin kecil.
- Jila nilai awalnya semakin kecil maka nilai akhirnya semakin besar.
Rumus Perbandingan Berbalik Nilai
a1/b2 = a2/b1
Keterangan:
a1 = variabel a sebelum dibandingkan
a2 = variabel a setelah dibandingkan
b1 = variabel b sebelum dibandingkan
b2 = variabel b setelah dibandingkan
Operasi Aljabar
Operasi aljabar adalah operasi matematika yang menggunakan huruf (variabel) dan angka, termasuk penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan penarikan akar.
1. Mengenak Bentuk Aljabar yang Melibatkan Bilangan Rasional
- Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang ditulis dalam bentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat, q ≠ 0.
p = pembilang
q = penyebut
- Bentuk Aljabar yang Memuat Bilangan Rasional
- Bentuk Aljabar dengan Vriabel Berbentuk Rasional
- Aljabar entuk Rasional Bersusun
2. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Operasi aljabar pada bentuk akar meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Penjumlahan dan pengurangan hanya bisa dilakukan pada bentuk akar yang sejenis (akar dengan bilangan di dalam tanda akar yang sama). Perkalian dan pembagian bisa dilakukan pada bentuk akar yang berbeda, tetapi perlu diperhatikan aturan perkalian dan pembagian akar. Selain itu, ada juga operasi merasionalkan penyebut bentuk akar.
- Penjumlahan dan Pengurangan : Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki soku-siku yang sejenis.
- Perkalian dan Pembagian
- Perpangkatan
Barisan dan Deret
Barisan dan deret adalah konsep matematika tentang susunan bilangan yang memiliki pola tertentu. Barisan adalah urutan bilangan, sedangkan deret adalah hasil penjumlahan dari suku-suku pada barisan.
1. Barisan Aritmatika
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan b.
Contoh barisan aritmetika:
- 3, 7, 11, 15, 19, …
- 30, 25, 20, 15, 10, …
Barisan (1) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan , … disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika, perhatikan kembali contoh barisan (1).
3, 7, 11, 15, 19, …
Misalkan ,, … adalah barisan aritmetika tersebut maka:
= 3 = 3 + 4(0)
= 7 = 3 + 4 = 3 + 4(1)
= 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4(2)
…
U_n = 3 + 4(n-1)
Secara umum, jika suku pertama () = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus = 3 + 4(n-1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan:
= a + b(n-1)
2. Deret Aritmatika
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika, perhatika kembali deret yang dihasilkan barisan (I)
3 + 7 + 1I + 15 + 19 + ….
Jika jumlah n suku pertama inotasikan dengan S, maka S dari deret diatas adalah :
Simpulan Materi
Berdasarkan teks, aljabar dasar mencakup beberapa konsep penting. Himpunan adalah kumpulan objek dengan definisi jelas yang bisa dioperasikan (seperti irisan, selisih, dan komplemen). Perbandingan membandingkan dua nilai, dibagi menjadi senilai (kedua nilai sebanding) dan berbalik nilai (satu nilai bertambah, yang lain berkurang). Operasi aljabar menggunakan variabel dan angka, termasuk pada bilangan rasional dan bentuk akar. Terakhir, barisan adalah susunan bilangan berpola, sedangkan deret adalah hasil penjumlahannya, dengan barisan dan deret aritmetika memiliki selisih yang tetap dan rumus untuk mencari suku atau jumlahnya.
Latihan Soal
Soal Pilihan Ganda
Himpunan dari semua anggota semesta yang tidak dimiliki oleh suatu himpunan disebut…
a. irisan
b. selisih
c. komplemen
d. gabungan
Perbandingan yang nilainya sama, di mana jika nilai awalnya semakin besar maka nilai akhirnya juga semakin besar, adalah…
a. perbandingan senilai
b. perbandingan berbalik nilai
c. perbandingan sejenis
d. perbandingan bertingkat
Berikut ini yang merupakan contoh dari barisan aritmetika turun adalah…
a. 3, 7, 11, 15, …
b. 30, 25, 20, 15, …
c. 2, 4, 8, 16, …
d. 1, 2, 4, 7, …
Berikut ini adalah salah satu operasi hitung yang dapat dilakukan pada bentuk akar, yaitu…
a. penjumlahan
b. perkalian
c. perpangkatan
d. pembagian
Bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q tidak sama dengan nol disebut…
a. bilangan rasional
b. bilangan imajiner
c. bilangan irasional
d. bilangan asli
Soal Essay
Jelaskan perbedaan antara barisan dan deret.
Menurut teks, apa yang dimaksud dengan notasi pembentuk himpunan?
Jelaskan perbedaan antara irisan dan selisih dalam operasi himpunan.
Apa yang membedakan perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai?
Jelaskan mengapa penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar hanya bisa dilakukan pada akar yang sejenis.
Ingin Kembangkan Prestasi dan Kemampuanmu?
Yuk! Ikutan kompetisi online gratis dan terpercaya yang diselenggarakan oleh Lembaga Profesional dan terdaftar di SIMT PUSPRESNAS berikut ini:
Nama Lembaga |
Website |
Tingkat Kompetisi |
Bukti Kurasi |
|---|---|---|---|
Mengapa Harus Daftar Kompetisi Kami?
Pendaftaran Gratis
Pendaftaran Kompetisi dan Olimpiade GRATIS tanpa syarat apapun.
Apresiasi Juara Gratis
Apresiasi juara juga GRATIS tanpa perlu membayar klaim hingga ratusan ribu loh.
Beasiswa hingga Kuliah
Tersedia Beasiswa Khusus Alumni yang diberikan hingga kuliah loh!.
Pendukung Japres & SNBP
Piagam bisa digunakan untuk Jalur Prestasi, Beasiswa dan SNBP loh.
Sudah Ribuan Alumni
Sudah diikuti banyak alumni yang tersebar di seluruh Indonesia dan luar negeri.
Dikelola secara Syariah
Pengelolaan hadiah dan apresiasi dikelola secara terpisah dan sesuai syariah.
Bantuan Kurasi Prestasi
Tersedia layanan bantuan dan panduan kurasi prestasi peserta loh.
Legalitas Terjamin
Lembaga penyelenggara telah terdaftar di kementerian dan SIMT Kurasi.
Tunggu apalagi? Ingin kejar tiket SPMB Jalur Prestasi atau SNBP di tahun depan? segera gabung dan daftarkan dirimu sekarang juga!. Prestasi itu tidak ada yang instan loh! Mulai dan persiapkan versi terbaikmu mulai dari sekarang juga!.