Materi :
Relasi dan Fungsi
Sub Materi :
1. Relasi
2. Fungsi (Pemetaan)
3. Grafik Fungsi Linear
4. Hubungan Relasi dan Fungsi
Pengantar Materi
Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah jenis relasi khusus di mana setiap anggota himpunan asal (domain) dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan kawan (kodomain). Keduanya dapat diwakili menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, atau diagram Cartesius.
Relasi
A1. Pengertian dan Konsep Dasar Relasi
Relasi adalah hubungan antara dua himpunan yang mengaitkan setiap anggota dari himpunan pertama (domain) dengan satu atau beberapa anggota dari himpunan kedua (kodomain). Relasi menunjukkan bagaimana elemen pada satu himpunan berhubungan dengan elemen himpunan lain.
Contoh:
A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6}
Relasi “dikalikan 2” dari A ke B: {(1,2), (2,4), (3,6)}
Poin penting:
- Domain → himpunan asal (input)
- Kodomain → himpunan tujuan (output)
- Range → himpunan hasil sebenarnya dari relasi
A2. Cara Penyajian Relasi
Relasi dapat disajikan dengan beberapa cara:
- Diagram Panah
Menunjukkan hubungan langsung antar elemen.
Contoh: A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6}
Relasi “dikalikan 2”: 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6 - Diagram Kartesius (Bidang Koordinat)
Relasi dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dan digambarkan pada bidang koordinat. - Himpunan Pasangan Berurutan
Ditulis dalam bentuk {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}
Catatan:
Banyaknya relasi dari A ke B = n(A) × n(B)
A3. Jenis-Jenis Relasi
- Relasi Satu ke Satu (One to One)
Setiap anggota domain berhubungan dengan satu anggota kodomain yang unik. - Relasi Satu ke Banyak (One to Many)
Satu anggota domain berhubungan dengan lebih dari satu anggota kodomain. - Relasi Banyak ke Satu (Many to One)
Beberapa anggota domain berhubungan dengan satu anggota kodomain. - Relasi Banyak ke Banyak (Many to Many)
Setiap anggota domain dan kodomain bisa memiliki lebih dari satu pasangan.
Fungsi (Pemetaan)
B1. Pengertian Fungsi dan Syarat-Syaratnya
Fungsi adalah relasi khusus yang setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan di kodomain.
Satu elemen domain tidak boleh dipasangkan dengan dua atau lebih elemen kodomain yang berbeda.
Contoh:
f: A → B, A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6}
Relasi “dikalikan 2” → f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6
Syarat fungsi:
- Setiap elemen domain memiliki pasangan tepat satu di kodomain
- Tidak boleh ada elemen domain tanpa pasangan
B2. Notasi dan Nilai Fungsi
Fungsi biasanya ditulis dengan notasi:
f : x → f(x)
atau
y = f(x)
Contoh:
Jika f(x) = 2x + 1
- f(0) = 1
- f(1) = 3
- f(2) = 5
Poin penting:
- Nilai f(x) bergantung pada nilai x
- f(x) disebut nilai fungsi
- x disebut variabel bebas
B3. Jenis-Jenis Fungsi Berdasarkan Pemetaan
- Fungsi Satu–Satu (Injektif)
Setiap anggota domain memiliki pasangan kodomain yang berbeda. - Fungsi Onto (Surjektif)
Semua anggota kodomain memiliki pasangan dari domain. - Fungsi Satu–Satu dan Onto (Bijektif)
Kombinasi dari fungsi injektif dan surjektif. - Fungsi Konstan
Semua elemen domain dipetakan ke satu nilai yang sama di kodomain.
B4. Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari
- Hubungan antara jarak dan waktu pada gerak lurus
- Biaya listrik yang tergantung pada pemakaian daya
- Nilai barang terhadap jumlah pembelian
Grafik Fungsi Linear
C1. Pengertian Fungsi Linear
Fungsi linear adalah fungsi berderajat satu dengan bentuk umum:
y = ax + b
dengan:
a = gradien (kemiringan garis)
b = konstanta (titik potong dengan sumbu Y)
Ciri-ciri:
- Grafiknya berupa garis lurus
- Nilai y berubah sebanding dengan x
C2. Menentukan Nilai Fungsi dan Membuat Tabel
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi linear:
- Tentukan beberapa nilai x
- Hitung nilai y menggunakan rumus fungsi
- Masukkan hasil ke tabel
Contoh:
Jika y = 2x + 1
x | y |
0 | 1 |
1 | 3 |
2 | 5 |
C3. Gradien dan Titik Potong
Gradien (a):
Menunjukkan kemiringan garis.
- Jika a > 0 → garis naik dari kiri ke kanan
- Jika a < 0 → garis turun dari kiri ke kanan
Titik potong sumbu Y (b):
Nilai y saat x = 0
Contoh:
y = 3x + 2 → gradien = 3, titik potong di (0, 2)
C4. Menentukan Persamaan Garis dari Dua Titik
Jika diketahui dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂), maka:
- Tentukan gradien (a):
a = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) - Substitusikan ke rumus:
y – y₁ = a(x – x₁)
Contoh:
Titik (1, 3) dan (3, 7)
a = (7 – 3) / (3 – 1) = 2
→ y – 3 = 2(x – 1) → y = 2x + 1
C5. Aplikasi Grafik Fungsi Linear
- Menentukan hubungan antara dua variabel
- Memprediksi nilai tertentu (perkiraan)
- Memecahkan masalah kontekstual seperti harga, jarak, waktu, dan kecepatan
Hubungan Relasi dan Fungsi
D1. Perbedaan Relasi dan Fungsi
Aspek | Relasi | Fungsi |
Jumlah pasangan | Boleh lebih dari satu | Harus satu untuk setiap domain |
Sifat hubungan | Umum | Khusus (pemetaan tunggal) |
Notasi | (x, y) | y = f(x) |
Contoh | A → B dengan 1 → 2, 1 → 3 | A → B dengan 1 → 2 saja |
D2. Penerapan Relasi dan Fungsi dalam Kehidupan
Relasi digunakan untuk pengelompokan data dan logika matematika
- Fungsi digunakan untuk menghitung besaran yang saling bergantung, seperti biaya, waktu, dan hasil produksi
Simpulan Materi
Latihan Soal
Soal Pilihan Ganda
1. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6}. Jika relasi R dari A ke B adalah “dikalikan 2”, maka pasangan berurutan yang benar adalah …
A. {(1,4), (2,6), (3,8)}
B. {(1,2), (2,4), (3,6)}
C. {(1,3), (2,5), (3,7)}
D. {(2,1), (4,2), (6,3)}
2. Dari himpunan A = {2, 4, 6} ke himpunan B = {1, 2, 3}, terdapat relasi “dibagi 2”. Diagram panah yang benar untuk relasi tersebut adalah …
A. 2 → 1, 4 → 2, 6 → 3
B. 2 → 2, 4 → 4, 6 → 6
C. 2 → 3, 4 → 2, 6 → 1
D. 2 → 4, 4 → 6, 6 → 8
3. Jika fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = 2x + 3, maka nilai f(5) adalah …
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
4. Fungsi f(x) = 3x – 2 digambarkan dalam grafik kartesius. Gradien garis tersebut adalah …
A. –2
B. –3
C. 2
D. 3
5. Diketahui dua titik A(1, 3) dan B(4, 9). Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut adalah …
A. y = 2x + 1
B. y = 3x
C. y = 2x + 2
D. y = 3x – 1
Soal Essay
1. Diketahui himpunan A = {2, 3, 4} dan B = {4, 6, 8}. Tentukan semua pasangan berurutan yang mungkin jika relasinya adalah “dikalikan 2”.
2. Sebuah fungsi dinyatakan dengan f(x) = 4x – 5.
a. Hitung nilai f(0), f(2), dan f(5).
b. Tentukan nilai x jika f(x) = 7.
3. Diketahui fungsi linear g(x) = –2x + 4.
a. Buatlah tabel nilai x dan g(x) untuk x = –1, 0, 1, 2.
b. Gambarkan grafik fungsinya pada bidang koordinat Kartesius.
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 5) dan (6, 13).
Tuliskan langkah-langkah lengkap mulai dari mencari gradien hingga bentuk akhir persamaan garisnya.
5. Dalam kehidupan sehari-hari, hubungan antara waktu kerja (jam) dengan upah harian seorang pekerja digambarkan melalui fungsi linear.
Jika pekerja mendapat Rp50.000 per jam, tulislah fungsi yang menunjukkan hubungan antara waktu kerja (x jam) dan upah (y rupiah), serta tentukan berapa upahnya jika bekerja selama 8 jam.
Ingin Kembangkan Prestasi dan Kemampuanmu?
Yuk! Ikutan kompetisi online gratis dan terpercaya yang diselenggarakan oleh Lembaga Profesional dan terdaftar di SIMT PUSPRESNAS berikut ini:
Nama Lembaga |
Website |
Tingkat Kompetisi |
Bukti Kurasi |
|---|---|---|---|
Mengapa Harus Daftar Kompetisi Kami?
Pendaftaran Gratis
Pendaftaran Kompetisi dan Olimpiade GRATIS tanpa syarat apapun.
Apresiasi Juara Gratis
Apresiasi juara juga GRATIS tanpa perlu membayar klaim hingga ratusan ribu loh.
Beasiswa hingga Kuliah
Tersedia Beasiswa Khusus Alumni yang diberikan hingga kuliah loh!.
Pendukung Japres & SNBP
Piagam bisa digunakan untuk Jalur Prestasi, Beasiswa dan SNBP loh.
Sudah Ribuan Alumni
Sudah diikuti banyak alumni yang tersebar di seluruh Indonesia dan luar negeri.
Dikelola secara Syariah
Pengelolaan hadiah dan apresiasi dikelola secara terpisah dan sesuai syariah.
Bantuan Kurasi Prestasi
Tersedia layanan bantuan dan panduan kurasi prestasi peserta loh.
Legalitas Terjamin
Lembaga penyelenggara telah terdaftar di kementerian dan SIMT Kurasi.
Tunggu apalagi? Ingin kejar tiket SPMB Jalur Prestasi atau SNBP di tahun depan? segera gabung dan daftarkan dirimu sekarang juga!. Prestasi itu tidak ada yang instan loh! Mulai dan persiapkan versi terbaikmu mulai dari sekarang juga!.